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　　六、夾角γ為45°的計(jì)算

　　6.1用基礎(chǔ)理論分析圖10形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　　①一階慣性力的計(jì)算

　　一階慣性力用表示，下標(biāo)代表一階。按照?qǐng)D10從左到右的閱讀順序，其一階慣性力合力的構(gòu)成如（7）式所表達(dá)

、

　　坐標(biāo)系如圖所示順轉(zhuǎn)45°后，變成了氣缸對(duì)稱(chēng)分布的主方向。一般的，根據(jù)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換（不是坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)百度上發(fā)布的信息仔細(xì)甄別：坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換是指只有一個(gè)坐標(biāo)系，有一個(gè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后變成一個(gè)新的向量，新的點(diǎn)的坐標(biāo)也可以采用矩陣運(yùn)算來(lái)完成，而其矩陣運(yùn)算的因子卻為，經(jīng)矩陣的乘法運(yùn)算后形成新的值還在原來(lái)的坐標(biāo)系中度量，這一點(diǎn)與計(jì)算機(jī)圖學(xué)中作“X=X+1”賦值運(yùn)算一樣。可以說(shuō)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換是一對(duì)互為逆運(yùn)算），有這樣的理論：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的直角坐標(biāo)系即x軸正方向向右，y軸的正方向向上，當(dāng)xoy坐標(biāo)系中x軸正方向向著y軸正方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正值α?xí)r，也就是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)的轉(zhuǎn)換矩陣為，轉(zhuǎn)換矩陣左乘所研究的函數(shù)特征，形成了在x'oy'坐標(biāo)系中新的函數(shù)關(guān)系式，這不改變?cè)摵瘮?shù)的本質(zhì)屬性，但能夠幫助人們更清楚認(rèn)識(shí)該函數(shù)的圖像，不同的視角得出的函數(shù)表達(dá)式是不相同的，但本質(zhì)是相同的。因此圖（10）是正角45°的坐標(biāo)系矩陣變換，其因子為

　　②二階慣性力的計(jì)算

　　這里先用傳統(tǒng)的三角函數(shù)來(lái)計(jì)算。

　　垂直方向：

　　也可以采用復(fù)數(shù)分析法，下面簡(jiǎn)單地寫(xiě)出。二階慣性力用表示，下標(biāo)Ⅱ代表二階。按照?qǐng)D7從左到右的閱讀順序，其二階慣性力合力的構(gòu)成如（11）式所表達(dá)

　　關(guān)于W型45°順轉(zhuǎn)二階慣性力也有下列的方程運(yùn)算。

　　6.2用基礎(chǔ)理論分析圖11形式反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　　①一階慣性力的計(jì)算

　　同樣，一階慣性力合力的構(gòu)成按圖11所示的構(gòu)成，依次寫(xiě)出如下

　　根據(jù)上一篇文章75°的文中分析，順、反旋轉(zhuǎn)時(shí)，角度“θ”用“— θ”代替，y方向也就是虛部的代數(shù)式“y”用“— y”代替這樣的二原則，則式（60）與式（55）比較起來(lái)，同樣適用這一原則。既適用于一階，也適用于二階。60°的情形也同樣適用，這里提及一下，有興趣的讀者可以回看一下。

　　坐標(biāo)系作負(fù)值45°變換，則

　　②二階慣性力的計(jì)算

　　二階慣性力合力的構(gòu)成按圖11所示的構(gòu)成，依次寫(xiě)出如下

　　由上一篇文章75°的文中分析，順?lè)葱D(zhuǎn)時(shí)，角度“θ”用“— θ”代替，y方向也就是虛部的代數(shù)式“y”用“— y”代替這樣的二原則，則式（63）與式（58）比較起來(lái)，同樣適用這一原則。這可以檢驗(yàn)運(yùn)算過(guò)程的正確性，或者可能由于誤輸入加減符號(hào)導(dǎo)致的常識(shí)性錯(cuò)誤。60°的二階慣性力表達(dá)式也遵循這個(gè)，有興趣的讀者可以回看一下。

　　6.3用基礎(chǔ)理論分析圖12形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　　①一階慣性力的計(jì)算

　　一階慣性力合力的構(gòu)成按圖12所示的構(gòu)成，依次寫(xiě)出如下

　　若兩質(zhì)量相等，則可以得出W型45°壓縮機(jī)上述三種情形一階慣性力的橢圓的短長(zhǎng)軸之比為0.5。

　　②二階慣性力的計(jì)算

　　二階慣性力合力的構(gòu)成按圖12所示的構(gòu)成，依次寫(xiě)出如下

　　垂直方向：

　　根據(jù)式（66），若兩質(zhì)量相等，可得出W型45°壓縮機(jī)上述三種情形二階慣性力的橢圓的短長(zhǎng)軸之比為。

　　6.4圖12與圖10、圖11利用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換作出的公式的一致性推導(dǎo)

　　根據(jù)前述的理論，我們將圖12的坐標(biāo)系順旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動(dòng)45°后建立了新坐標(biāo)系，也就是正角變換，這樣一來(lái)該坐標(biāo)系就與圖10中一模一樣。我們所做的事是已知式（65）的方程，利用該式怎樣推導(dǎo)出式（56），以驗(yàn)算理論推導(dǎo)過(guò)程的一致性。我們進(jìn)行坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換，作如下

　　因?yàn)槲覀兊玫降氖剑?6）是從偏置時(shí)開(kāi)始計(jì)角度的，設(shè)重新建立新的坐標(biāo)系后我們從偏置一邊的活塞時(shí)開(kāi)始計(jì)及角度α，則上面的“θ”用“ ”來(lái)代替，經(jīng)運(yùn)算后

　　上式與式（56）一樣，所以得證。

　　由于圖12所畫(huà)的轉(zhuǎn)向是順時(shí)針，為弄明白坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換是正角變換還是負(fù)值變換，可以作圖11的鏡像圖，所以得到是負(fù)角變換，因鏡像后兩圖轉(zhuǎn)向已一致所以式（65）保持不變，考慮到新坐標(biāo)系的開(kāi)始角的度量關(guān)系所以“θ”用“ ”來(lái)代替，推導(dǎo)如下：

　　該式與式（61）保持一致，得證。

　　二階慣性力的代數(shù)式（66）、（58）、（63）也能進(jìn)行一致性推導(dǎo)。其它角度也行，此處不展開(kāi)讀者如若有興趣自行推導(dǎo)。下面簡(jiǎn)單寫(xiě)出該角度的二階慣性力推導(dǎo)方程式

　　這種通過(guò)居中布置的參數(shù)方程推導(dǎo)出偏置時(shí)的參數(shù)方程，僅適用于m_s2＝m_s1時(shí)，對(duì)于二者質(zhì)量不相等的情形，不能夠通過(guò)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換來(lái)推導(dǎo)，因?yàn)檠芯康姆椒伸`活而固有的結(jié)構(gòu)m_s2不能夠旋轉(zhuǎn)，更多的理論——橢圓的小偏轉(zhuǎn)理論、60°分布時(shí)橢圓大旋轉(zhuǎn)理論——似乎也能支持該種算法。因此，還是用傳統(tǒng)的方法計(jì)算各自的方程來(lái)得更直接些。

　　進(jìn)行這些運(yùn)算，可以加強(qiáng)理論的縝密性，可以檢驗(yàn)推導(dǎo)過(guò)程的正確性，這些都是基于對(duì)數(shù)學(xué)中線(xiàn)性代數(shù)學(xué)科的研究、基于平時(shí)的善于發(fā)現(xiàn)，基于前述的基礎(chǔ)理論中的正方向理論。

　　6.5總結(jié)

　　本處以安徽華晶機(jī)械有限公司生產(chǎn)的WW-0.9/10B-Q型全無(wú)油二級(jí)空壓機(jī)為模版，假定氣缸夾角為45°，計(jì)算其一、二階往復(fù)慣性力。此處先假定三列往復(fù)質(zhì)量相等，即ms為1.8kg，曲柄半徑為0.0375m，曲柄半徑連桿比λ為37.5/195，角速度ω為2π×(800/60)rad/s，現(xiàn)將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入上文中所列的相關(guān)公式中，運(yùn)用計(jì)算機(jī)內(nèi)EXCEL程序列表、繪圖計(jì)算分析，計(jì)算的結(jié)果繪制在上圖的圖10、圖11、圖12中，可以得到以下結(jié)論：

　　1）一階慣性力由60°分布的圓變成橢圓，且橢圓的短長(zhǎng)軸之比由1變成0.5，如果方向一致則是由1變成2；平均值由711N變成731N，有所增大；方向由跟隨變成近似跟隨。圖10、11中已畫(huà)出一、二階慣性力剛開(kāi)始時(shí)的矢量線(xiàn)，用橢圓斷開(kāi)表示，圖12中反映一階慣性力在某個(gè)時(shí)候有重合的可能。

　　2）二階慣性力說(shuō)明，其橢圓短長(zhǎng)軸之比由0.333變成0.707。力的平均值由96.9N變成110.8N，有所增加。方向初看是亂的，但很有規(guī)律，因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)。這個(gè)規(guī)律待人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)、研究、發(fā)現(xiàn)、找尋合適的機(jī)構(gòu)來(lái)平衡。

　　3）當(dāng)m_s2≠m_s1時(shí)，60°分布一階慣性力在m_s2列方向形成橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，而45°不是，說(shuō)明角度優(yōu)先于質(zhì)量，說(shuō)明W型時(shí)，60°分布是最優(yōu)的。從式（9）的復(fù)數(shù)表達(dá)式、式（10）的幾何表達(dá)式中可以看出，60°分布時(shí)一階慣性力長(zhǎng)短軸與角度無(wú)關(guān)，僅與質(zhì)量有關(guān)，這與上也是吻合的。

　　4）它們的共同點(diǎn)是，曲柄轉(zhuǎn)1周，一階慣性力也轉(zhuǎn)1周，且同向；二階慣性力轉(zhuǎn)2周，也同向。

　　若m_s2≠m_s1，會(huì)引起圖10、圖11、圖12中兩個(gè)橢圓有所歧化，或偏轉(zhuǎn)，兼帶擴(kuò)壓，使其相位、幅值有微量變化。

　　〈注：本文未完待續(xù)，更多精彩見(jiàn)下期！〉

　　參考文獻(xiàn)

　　（1）宋瑞林，氣缸夾角為60°的V6車(chē)用發(fā)動(dòng)機(jī)往復(fù)慣性力的平衡分析，[J]，汽車(chē)技術(shù)，1988.8

　　（2）李松虎，3W型活塞壓縮機(jī)往復(fù)慣性力的分析，[J]，壓縮機(jī)技術(shù)，1987.3

　　（3）陸鵬程，張光勝，三星型壓縮機(jī)振動(dòng)問(wèn)題研究，[J]，安徽工程科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2009.1

　　（4）王再順，夾角為90°的V型壓縮機(jī)往復(fù)慣性力平衡的探討，[J]，壓縮機(jī)技術(shù)，1986.2

　　作者簡(jiǎn)介

　　陸鵬程，男，安徽桐城人，海軍工程大學(xué)在職碩士畢業(yè)。現(xiàn)在中國(guó)人民解放軍第四八一二工廠，安徽華晶機(jī)械有限公司工作，高級(jí)工程師。研究方向：壓縮機(jī)研究與強(qiáng)度設(shè)計(jì)。

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